Interpretacion del mejos metodo para realizar ejercicios de funciones analiticas

Despues de leer varios libros sobre funciones comprejas me parece que la mejor forma de esplicar es funcion de Cauchy.

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificación constituye una condición necesaria (aunque no suficiente) para la derivabilidad de este tipo de funciones.
Sea una función compleja f(z), con z = x + iy.

Se sabe que f(z) se puede descomponer en suma de dos funciones reales de dos variables u y v, de manera que f(z) = f(x,y) = f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y).

Si la función f(z) es derivable en un punto z0 = x0 + iy0 entonces deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:

ux(x0,y0) = vy(x0,y0)
vx(x0,y0) = − uy(x0,y0)

donde ux significa la derivada parcial de la función u respecto a la variable x, usualmente simbolizado . Análogamente para uy, vx y vy.

Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:

f'(z0) = ux(x0,y0) + ivx(x0,y0) = vy(x0,y0) − iuy(x0,y0)

Veamos un ejemplo donde derivable en todo número complejo y por lo tanto las ecuaciones de

Cauchy-Riemann se verificarán en cualquier
z = x + iy.

Consideramos la función f(z) = z2.

Ahora veamos esta función en coordenadas cartesianas.

f(x + yi) = (x + yi)2 = (x2 − y2) + i2xy

por lo tanto las parte real e imaginaria de la función son

u(x,y) = x2 − y2 y v(x,y) = 2xy

respectivamente. Derivado con respecto a x e y es inmediato que

ux = 2x = vy
uy = − 2y = − vx.

Por último verifiquemos la condición sobre las derivadas. La derivada de f es claramente

f'(z) = 2z
(las reglas para derivar funciones complejas es similar a las funciones reales) por lo tanto
f'(x + iy) = 2(x + iy) = 2x + i2y = ux + ivx = vy − iuy